🧷 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/33988

🧭 풀이 시간

180분

👀 체감 난이도

• 상
• 중
• 하

✏️ 문제 설명

정점 N개 간선 M개인 무향 연결 그래프 G가 주어진다.
집합 S는 1 <= i < j <= N, 0 <= w <= 10^9를 만족하는 모든 간선 쌍 (i,j,w)을 원소로 가진다.
S에서 하나를 뽑아서 G에 추가한 새 그래프 G'의 가중치 합의 기댓값을 구해보자.

🔍 풀이 방법

사건 i가 일어날 확률 P[i], 그 떄의 값이 E[i]일 때,
기댓값은 sum(P[i] * E[i])

X = G의 MST 가중치

어떤 정점 쌍 (u,v)에 대해,
d[u][v] = MST에서 u와 v를 잇는 경로 상의 최대 가중치로 정의

모든 정점 쌍 (u,v)에 대해,
S 내에서 둘을 잇는 간선의 개수는 10^9 + 1개
이 중에서 MST를
X-d[u][v]로 만드는 경우 1개
X-d[u][v]+1로 만드는 경우 1개
...
X-1로 만드는 경우 1개
X로 만드는 경우 10^9 + 1 - d[u][v]개

전체 사건의 개수는 N*(N-1)/2개
-> O(N^2)임. 시간 초과
전체 경우의 수 P = N*(N-1)/2 * (10^9 + 1)

하지만 d[u][v]의 총 가짓수는 N-1개임.
MST에 쓰인 간선들 중, 가중치 최소 간선부터 분리 집합으로 합쳐주며 컴포넌트의 개수를 관리
현재 추가한 간선 (u,v,w)에 대해,
f(a) = MST를 X-a로 만드는 경우의 수 라고 하면,
f(1)부터 f(w)까지 c[u] * c[v]만큼이 추가되고, f(0)에는 (10^9 + 1 - w)*c[u]*c[v]만큼 추가됨.

답은 sum(f(a)*(X-a)/P)

근데 이거도 가중치 범위가 10^9라 시간 초과임
어케 더 줄이지?

위에서 각 작업을 튜플 (w, c[u]*c[v])로 배열 E에 관리하자.
w에대한 내림차순으로 정렬하면,
E[i]와 E[i+1] 사이에 대한 구간을 효율적으로 처리할 방법을 생각해보자

경우의 수에 대한 누적 합 C를 관리.
E[i+1].w + 1 <= e <= E[i].w 인 e에 대해,
cnt = E[i].w - E[i+1].w라고 하자.
g(n) = n*(n+1)/2라고 하면, s = g(E[i].w) - g(E[i+1].w)라고 두자.

((X-E[i].w * (C + E[i].c)) + (X-E[i].w-1 * (C + 2E[i].c)) + ... ) / P
이걸 구한 뒤, 마지막에 f(0)만 따로 처리.

⏳ 회고

맞는 거 같은데 왜 답이 안나오지?